WCS での基本的な変換手順

WCS の提案 (WCS Paper I) では、ピクセル座標から世界座標(World Coordinate)への変換は、複数のステップ (3つの変換) を踏んで変換されることになる。 ピクセル座標($p_j$) $\rightarrow$中間ピクセル座標($q_i$) $\rightarrow$中間世界座標($x_i$) $\rightarrow$世界座標、である。 このステップの流れ図と簡単な説明は次のようになる。

        [ピクセル座標]
           ↓ (step1) ← 線形変換する (CRPIXjs, PCi_js or CDi_js キーワード)
           ↓            行列を掛け回転、歪み、(オプションで)スケールの補正
        [中間ピクセル座標]
           ↓ (step2) ← 物理単位へ再スケーリングする (CDELTis キーワード)
           ↓            
        [中間世界座標]
           ↓ (step3) ← 座標変換 (CTYPEis, CRVALis, PVi_ms キーワード)
           ↓            球面から平面への射影と、実世界座標への変換
        [世界座標(World Coordinate)]

• 最初のステップ (step1) は、ピクセル座標から中間ピクセル座標への線形変換である。 このためにはピクセル座標ベクトル $p_j$ に対して行列を掛ける。

  $$q_i = \sum^n_{j=1}m_{ij}(p_j - r_j)$$ (11)

  
  

  ここで、$r_j$ は CRPIXj で与えられる参照点でのピクセル座標であり、$m_{ij}$ が変換行列、$q_i$ が中間ピクセル座標である。 これ以降、添字の $j$ はピクセル軸を、$i$ は世界軸を表す。 $m_{ij}$ は $N \times N$ の正方行列であり、$N$ は NAXISキーワードで与えられる。 ただし、この点は WCSAXESキーワードによってより一般化される(6.3.3.2 参照)。 変換結果の $q_i$ は、中間世界座標軸と一致する方向の中間ピクセル座標軸ベクトルであり、無次元のピクセル単位での参照点からのオフセットである。

• 従って 2番目のステップ (step2) である、$q_i$ を対応する中間世界座標の $x_i$ に変換するには、単に次のようなスケーリングをするだけである。

  $$x_i = s_i q_i$$ (12)

  
  

  $m_{ij}$ や $si$ などを FITS ヘッダーでどう表すかは後で触れる。

• 3番目のステップ (step3) は中間世界座標から世界座標への変換である。 具体的には、球面から平面への射影法と平面と天球面の接点での世界座標の値から決まる変換により実際の世界座標に変換する。この変換は CTYPEi に依存する。 単純な線形軸では、$x_i$ は CRVALi で与えられる参照点における座標値に加えるオフセットと解釈される。 それ以外の場合には、CTYPEi は $x_i$, CRVALi と他のパラメータの関数を規約に従って定義することになる。 規約にない CTYPEi は線形と解釈される。 非線形座標は CTYPEi に "4-3" 形式で記述される。 これは例えば 'VOPT-F2W'のようなもので、最初の4文字が座標の種類を表し、5番目の文字は '-' で、残りの3文字が中間世界座標から世界座標に変換するアルゴリズムを指定する。 座標の種類が4文字に満たない場合は '-' で補い、アルゴリズムが3文字に満たない場合は空白を補う、'RA--UV ' のように。 ただし、アルゴリズムのコードは3文字にすることを推奨する。(具体的なアルゴリズムのコードなどについては後述)